Frekvencinės srities atskleidimas: išsamus Furjė transformacijos analizės vadovas

Įsivaizduokite, kad klausotės simfoninio orkestro. Jūsų ausys suvokia ne tik vieną, susimaišiusią garso sieną, kuri laikui bėgant kinta garsumu. Vietoj to, galite atskirti gilias, rezonansines violončelės natas, aštrius, aiškius smuiko tonus ir ryškų trimito šauksmą. Iš esmės jūs atliekate natūralią dažnio analizės formą. Jūs suskaidote sudėtingą signalą – orkestro muziką – į sudedamąsias dalis. Matematinė priemonė, leidžianti mokslininkams, inžinieriams ir analitikams tai padaryti su bet kokiu signalu, yra Furjė transformacija.

Furjė transformacija yra viena iš giliausių ir universaliausių matematinių koncepcijų, kada nors sukurtų. Ji suteikia objektyvą, per kurį galime matyti pasaulį ne kaip įvykių seriją, vykstančią laikui bėgant, o kaip grynų, amžinų virpesių derinį. Tai yra tiltas tarp dviejų pagrindinių signalo supratimo būdų: laiko srities ir dažnio srities. Šis tinklaraščio įrašas padės jums pereiti per tą tiltą, išaiškinant Furjė transformaciją ir tiriant jos neįtikėtiną galią spręsti problemas įvairiose pasaulinėse pramonės šakose.

Kas yra signalas? Laiko srities perspektyva

Prieš įvertindami dažnio sritį, pirmiausia turime suprasti jos atitikmenį: laiko sritį. Tai yra būdas, kuriuo natūraliai patiriame ir įrašome daugumą reiškinių. Laiko sritis parodo signalą kaip matavimų seriją, atliktą per tam tikrą laikotarpį.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius:

• Garso įrašas: mikrofonas fiksuoja oro slėgio pokyčius laikui bėgant. Ši diagrama parodytų amplitudę (susijusią su garsumu) y ašyje ir laiką x ašyje.
• Akcijų kainų diagrama: čia rodoma akcijų vertė y ašyje, o laikas (dienos, valandos, minutės) x ašyje.
• Elektrokardiograma (EKG): ši medicininė diagnostikos priemonė įrašo širdies elektrinį aktyvumą, rodydama įtampos svyravimus laikui bėgant.
• Seisminis rodmuo: seismografas matuoja žemės judėjimą laikui bėgant žemės drebėjimo metu.

Laiko sritis yra intuityvi ir būtina. Ji mums pasako, kada kažkas įvyko ir kokiu intensyvumu. Tačiau ji turi didelių apribojimų. Pažvelgus į sudėtingą garso bangos formą laiko srityje, beveik neįmanoma nustatyti atskirų muzikos natų, žemo dažnio dūzgimo buvimo ar harmoninės struktūros, suteikiančios instrumentui unikalų tembrą. Matote galutinį, sumaišytą rezultatą, bet ingredientai yra paslėpti.

Patekimas į dažnio sritį: „Kodėl“ Furjė transformacijos priežastis

Čia įsijungia Jeano-Baptiste'o Josepho Fourier genijus. XIX amžiaus pradžioje jis pasiūlė revoliucinę idėją: bet kokį sudėtingą signalą, kad ir koks sudėtingas jis būtų, galima sudaryti sudedant paprastas sinuso ir kosinuso bangas, kurių skirtingi dažniai, amplitudės ir fazės.

Tai yra pagrindinis Furjė analizės principas. Furjė transformacija yra matematinė operacija, kuri paima mūsų laiko srities signalą ir išsiaiškina, kurių sinuso ir kosinuso bangų reikia jam sukurti. Iš esmės ji pateikia signalo „receptą“.

Pagalvokite apie tai taip:

• Laiko srities signalas: paruoštas, iškeptas pyragas. Galite jį paragauti ir apibūdinti jo bendrą tekstūrą, bet nežinote tikslios sudėties.
• Furjė transformacija: cheminės analizės procesas, kuris pasako, kad pyrage yra 500 g miltų, 200 g cukraus, 3 kiaušiniai ir pan.
• Dažnio srities atvaizdavimas (spektras): ingredientų sąrašas ir jų kiekiai. Jame rodomi pagrindiniai dažniai (ingredientai) ir atitinkamos jų amplitudės (kiekiai).

Pakeisdami savo perspektyvą iš laiko srities į dažnio sritį, galime užduoti visiškai naujus klausimus: kokie yra vyraujantys dažniai šiame signale? Ar yra nepageidaujamo, aukšto dažnio triukšmo? Ar šiuose finansiniuose duomenyse paslėpti periodiniai ciklai? Atsakymai, dažnai nematomi laiko srityje, tampa stulbinamai aiškūs dažnio srityje.

Matematika už magijos: švelnus įvadas

Nors pagrindinė matematika gali būti griežta, pagrindinės sąvokos yra prieinamos. Furjė analizė išsivystė į kelias pagrindines formas, kurių kiekviena tinka skirtingiems signalų tipams.

Furjė eilutės: periodiniams signalams

Kelionė prasideda nuo Furjė eilučių, kurios taikomos signalams, kurie kartojasi per tam tikrą laikotarpį. Pagalvokite apie tobulą muzikos natą iš sintezatoriaus arba idealizuotą stačiakampę bangą elektronikoje. Furjė eilutės teigia, kad tokį periodinį signalą galima pavaizduoti kaip (galbūt begalinės) sinuso ir kosinuso bangų eilutės sumą. Visos šios bangos yra sveikieji pagrindinio dažnio kartotiniai. Šie kartotiniai vadinami harmonikais.

Pavyzdžiui, stačiakampę bangą galima sukurti pridedant pagrindinę sinuso bangą prie mažesnių jos 3-iosios, 5-osios, 7-osios ir vėlesnių nelyginių harmonikų kiekių. Kuo daugiau harmonikų pridėsite, tuo labiau gauta suma primins tobulą stačiakampę bangą.

Furjė transformacija: neperiodiniams signalams

O kaip su signalais, kurie nesikartoja, pavyzdžiui, vienas rankų pliaukštelėjimas ar trumpas kalbos segmentas? Jiems mums reikia Furjė transformacijos. Ji apibendrina Furjė eilučių koncepciją neperiodiniams signalams, laikydama juos taip, tarsi jų periodas būtų be galo ilgas. Vietoj diskrečios harmonikų sumos, rezultatas yra tolydi funkcija, vadinama spektru, kuris rodo kiekvieno galimo dažnio, prisidedančio prie signalo, amplitudę ir fazę.

Diskrečioji Furjė transformacija (DFT): skaitmeniniam pasauliui

Šiuolaikiniame pasaulyje retai dirbame su tolydžiais, analoginiais signalais. Vietoj to, mes dirbame su skaitmeniniais duomenimis – signalais, kurie buvo paimti diskrečiais laiko momentais. Diskrečioji Furjė transformacija (DFT) yra Furjė transformacijos versija, skirta šiai skaitmeninei tikrovei. Ji paima baigtinę duomenų taškų seką (pvz., vienos sekundės garso klipo pavyzdžius) ir grąžina baigtinę dažnio komponentų seką. DFT yra tiesioginis ryšys tarp teorinio Furjė pasaulio ir praktinio kompiuterių pasaulio.

Greita Furjė transformacija (FFT): šiuolaikinio signalų apdorojimo variklis

DFT apskaičiavimas tiesiogiai yra daug skaičiavimo. Signalui su „N“ pavyzdžių reikalingų skaičiavimų skaičius auga proporcingai N². Vienam sekundės garso klipui, imamam 44,1 kHz dažniu (44 100 pavyzdžių), tai reikštų milijardus skaičiavimų, todėl analizė realiuoju laiku taptų neįmanoma. Persilaužimas įvyko sukūrus Greitą Furjė transformaciją (FFT). FFT nėra nauja transformacija, bet nepaprastai efektyvus algoritmas DFT apskaičiuoti. Ji sumažina skaičiavimo sudėtingumą iki N*log(N), tai yra monumentalus patobulinimas, pavertęs Furjė transformaciją iš teorinio smalsumo į šiuolaikinio skaitmeninio signalų apdorojimo (DSP) galingą variklį.

Dažnio srities vizualizavimas: spektro supratimas

FFT išvestis yra kompleksinių skaičių rinkinys. Nors šiuose skaičiuose yra visa informacija, juos nėra lengva tiesiogiai interpretuoti. Vietoj to, mes juos vizualizuojame diagramoje, vadinamoje spektru arba spektrograma.

• x ašis rodo Dažnį, paprastai matuojamą hercais (Hz), o tai reiškia ciklus per sekundę.
• y ašis rodo kiekvieno dažnio komponento Magnitudę (arba Amplitudę). Tai mums pasako, kiek to specifinio dažnio yra signale.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių:

• Gryna sinuso banga: signalas, kuris yra tobula 440 Hz sinuso banga (muzikinė nata „A“), laiko srityje atrodytų kaip lygi, pasikartojanti banga. Dažnio srityje jos spektras būtų neįtikėtinai paprastas: vienas, aštrus smaigalys tiksliai 440 Hz ir nieko daugiau.
• Stačiakampė banga: Kaip minėta anksčiau, 100 Hz stačiakampė banga parodytų didelį smaigalį ties pagrindiniu 100 Hz dažniu, po kurio eitų mažesni smaigaliai ties nelyginiais harmonikais: 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz ir t. t., o šių harmonikų amplitudės mažėja didėjant dažniui.
• Baltas triukšmas: signalas, reiškiantis atsitiktinį triukšmą (pavyzdžiui, statinis triukšmas iš seno analoginio televizoriaus), turi vienodą galią visuose dažniuose. Jos spektras atrodytų kaip gana plokščia, pakelta linija per visą dažnių diapazoną.
• Žmogaus kalba: ištarto žodžio spektras būtų sudėtingas, rodantis smailės ties pagrindiniu kalbėtojo balso dažniu ir jo harmonikais (kurie nustato aukštį), taip pat platesnius dažnių klasterius, kurie atitinka skirtingus balsių ir priebalsių garsus.

Praktinis pritaikymas įvairiose pasaulinėse pramonės šakose

Tikrasis Furjė transformacijos grožis slypi jos visur esančime pobūdyje. Tai yra pagrindinė priemonė, naudojama daugybėje technologijų, kurios formuoja mūsų kasdienį gyvenimą, nepriklausomai nuo to, kur esame pasaulyje.

Garso inžinerija ir muzikos produkcija

Tai turbūt intuityviausia programa. Kiekviena garso maišymo pultas ir skaitmeninė garso darbo stotis (DAW) yra sukurta aplink dažnio manipuliavimą.

• Ekvalaizeriai (EQ): EQ yra tiesioginis Furjė analizės taikymas. Tai leidžia inžinieriui pamatyti takelio dažnių spektrą ir sustiprinti arba sumažinti specifinius dažnių diapazonus – pavyzdžiui, sumažinti purvynę aplink 200–300 Hz arba pridėti „oro“ ir aiškumo padidinant dažnius virš 10 kHz.
• Triukšmo mažinimas: dažna problema visame pasaulyje yra elektros energijos linijų dūzgimas, kuris kai kuriuose regionuose (pvz., Šiaurės Amerikoje) pasireiškia 60 Hz, o kituose (pvz., Europoje, Azijoje) – 50 Hz. Naudojant FFT, šį specifinį dažnį galima nustatyti ir filtruoti chirurginiu tikslumu, išvalant įrašą nepaveikiant likusio garso.
• Garso efektai: garso aukščio koregavimo priemonės, tokios kaip Auto-Tune, naudoja FFT, kad surastų dominuojantį dainininko balso dažnį ir perkeltų jį į artimiausią norimą muzikinę natą.

Telekomunikacijos

Šiuolaikinis bendravimas neįmanomas be Furjė transformacijos. Tai leidžia mums siųsti kelis signalus per vieną kanalą be trukdžių.

• Moduliavimas: radijas veikia paimant žemo dažnio garso signalą ir „perduodant“ jį aukšto dažnio radijo banga (nešlio dažnis). Šis procesas, vadinamas moduliacija, yra giliai įsišaknijęs dažnio srities principuose.
• OFDM (ortogonalus dažnio padalijimo multipleksavimas): tai yra pagrindinė technologija, pagrindžianti šiuolaikinius standartus, tokius kaip 4G, 5G, Wi-Fi ir skaitmeninė televizija. Vietoj to, kad perduotų duomenis vienu, greitu nešliu, OFDM padalija duomenis per tūkstančius lėtesnių, artimai išdėstytų, ortogonalių sub-nešlių. Tai daro signalą neįtikėtinai atsparų trukdžiams ir yra valdomas visiškai naudojant FFT ir jų atvirkštinę.

Medicininė vaizdavimas ir diagnostika

Furjė transformacija gelbsti gyvybes, įgalindama galingas diagnostikos priemones.

• Magnetinio rezonanso tomografija (MRT): MRT aparatas nedaro tiesioginio kūno „paveikslėlio“. Jis naudoja galingus magnetinius laukus ir radijo bangas, kad surinktų duomenis apie audinių erdvinius dažnius. Šie neapdoroti duomenys, surinkti „k-erdvėje“ (dažnio sritis vaizdams), tada konvertuojami į detalų anatominį vaizdą naudojant 2D atvirkštinę Furjė transformaciją.
• EKG/EEG analizė: analizuodami smegenų bangų (EEG) arba širdies ritmų (EKG) dažnių spektrą, gydytojai gali nustatyti modelius, rodančius tam tikras būkles. Pavyzdžiui, specifiniai EEG dažnių diapazonai yra susiję su skirtingomis miego stadijomis arba epilepsijos buvimu.

Vaizdų apdorojimas

Kaip ir 1D signalą galima suskaidyti į dažnius, taip ir 2D vaizdą galima suskaidyti į 2D sinuso/kosinuso bangas su skirtingais dažniais ir orientacijomis.

• Vaizdų glaudinimas (JPEG): JPEG formatas yra meistriškas Furjė transformacijos (tiksliau, susijusios transformacijos, vadinamos diskrečia kosinuso transformacija) naudojimas. Vaizdas suskaidomas į mažus blokus, o kiekvienas blokas transformuojamas į dažnio sritį. Aukšto dažnio komponentai, kurie atitinka smulkias detales, kurioms žmogaus akis yra mažiau jautri, gali būti saugomi su mažesniu tikslumu arba visiškai atmesti. Tai leidžia smarkiai sumažinti failo dydį su minimaliu pastebimu kokybės praradimu.
• Filtravimas ir tobulinimas: Dažnio srityje žemi dažniai atitinka sklandžius, palaipsniui kintančius vaizdo pokyčius, o aukšti dažniai atitinka aštrius kraštus ir detales. Norint sulieti vaizdą, galima pritaikyti žemo dažnio filtrą dažnio srityje (pašalinant aukštus dažnius). Norint paaštrinti vaizdą, galima padidinti aukštus dažnius.

Pagrindinės sąvokos ir dažnos klaidos

Norint efektyviai naudoti Furjė transformaciją, būtina žinoti keletą pagrindinių principų ir galimų iššūkių.

Nyquist-Shannon pavyzdžių ėmimo teorema

Tai yra viena svarbiausių taisyklių skaitmeniniame signalų apdorojime. Ji teigia, kad norint tiksliai užfiksuoti signalą skaitmeniniu būdu, jūsų pavyzdžių ėmimo dažnis turi būti bent du kartus didesnis už aukščiausią dažnį, esantį signale. Šis minimalus pavyzdžių ėmimo dažnis vadinamas Nyquist dažniu.

Jei pažeisite šią taisyklę, įvyks reiškinys, vadinamas aliasingu. Aukšti dažniai, kurie nėra imami pakankamai greitai, „persidengs“ ir klaidingai pasirodys kaip žemesni dažniai jūsų duomenyse, sukuriant iliuziją, kurios neįmanoma atšaukti. Štai kodėl CD naudoja 44,1 kHz pavyzdžių ėmimo dažnį – jis yra daugiau nei dvigubai didesnis už aukščiausią dažnį, kurį gali išgirsti žmonės (apie 20 kHz), taip užkertant kelią aliasingui girdimame diapazone.

Langų kūrimas ir spektrinis nutekėjimas

FFT daro prielaidą, kad baigtinis duomenų gabalas, kurį pateikiate, yra vienas be galo besikartojančio signalo periodas. Jei jūsų signalas nėra visiškai periodiškas tame gabale (o taip beveik visada būna), ši prielaida sukuria aštrius nutrūkimus ties kraštais. Šie dirbtiniai aštrūs kraštai į jūsų spektrą įveda netikrus dažnius, reiškinys, žinomas kaip spektrinis nutekėjimas. Tai gali uždengti tikruosius dažnius, kuriuos bandote išmatuoti.

Sprendimas yra langų kūrimas. Langų funkcija (pavyzdžiui, Hann arba Hamming langas) yra matematinė funkcija, kuri taikoma laiko srities duomenims. Ji sklandžiai sumažina signalą iki nulio pradžioje ir pabaigoje, sumažindama dirbtinį nutrūkimą ir žymiai sumažindama spektrinį nutekėjimą, todėl gaunamas švaresnis, tikslesnis spektras.

Fazė vs. Magnitudė

Kaip minėta, FFT išvestis yra kompleksinių skaičių serija. Iš jų gauname dvi pagrindines informacijos dalis kiekvienam dažniui:

• Magnitudė: Tai yra tai, ką mes paprastai braižome. Tai mums pasako to dažnio stiprumą arba amplitudę.
• Fazė: Tai mums pasako to dažnio sinuso bangos pradinę padėtį arba poslinkį.

Nors magnitudės spektras dažnai yra analizės dėmesio centre, fazė yra labai svarbi. Be teisingos fazės informacijos negalite atkurti pradinio laiko srities signalo. Du signalai gali turėti tą patį magnitudės spektrą, bet skambėti ar atrodyti visiškai skirtingai, nes jų fazės informacija skiriasi. Fazė apima visą signalo savybių laiko ir pozicijos informaciją.

Praktiškos įžvalgos: kaip pradėti naudoti Furjė analizę

Jums nereikia būti matematiku, kad pradėtumėte naudoti Furjė transformaciją. Galingos, labai optimizuotos FFT bibliotekos yra prieinamos beveik kiekvienoje pagrindinėje programavimo ir duomenų analizės aplinkoje.

• Python: `numpy.fft` modulis (pvz., `np.fft.fft()`) ir išsamesnis `scipy.fft` modulis yra pramonės standartai moksliniams skaičiavimams.
• MATLAB: turi įmontuotas `fft()` ir `ifft()` funkcijas, kurios yra pagrindinės jos signalų apdorojimo įrankių rinkiniuose.
• R: `stats` paketas apima `fft()` funkciją, skirtą laiko eilučių analizei.

Tipinis darbo eiga galėtų atrodyti taip:

1. Įsigykite arba sugeneruokite signalą: įkelkite garso failą, akcijų duomenų CSV arba tiesiog sukurkite signalą patys (pvz., kelių sinuso bangų derinį su šiek tiek pridėto triukšmo).
2. Taikykite langų funkciją: padauginkite savo signalą iš langų funkcijos (pvz., `numpy.hanning()`), kad sumažintumėte spektrinį nutekėjimą.
3. Apskaičiuokite FFT: pritaikykite FFT funkciją iš pasirinktos bibliotekos savo signalui su langų funkcija.
4. Apskaičiuokite magnitudę: FFT išvestis bus kompleksiniai skaičiai. Apskaičiuokite jų absoliučią vertę (pvz., `np.abs()`), kad gautumėte magnitudę.
5. Sugeneruokite dažnio ašį: sukurkite atitinkamą dažnio reikšmių masyvą savo x ašiai. Dažniai svyruos nuo 0 iki Nyquist dažnio.
6. Braižykite ir analizuokite: braižykite magnitudę prieš dažnio ašį, kad vizualizuotumėte spektrą. Ieškokite smailės, modelių ir triukšmo lygių.

Išvada: nepraeinanti skirtingos perspektyvos galia

Furjė transformacija yra daugiau nei tik matematinė priemonė; tai naujas matymas. Ji mus moko, kad sudėtingus reiškinius galima suprasti kaip paprastų, pagrindinių virpesių simfoniją. Ji paima susipainiojusį, chaotiškai atrodantį signalą laiko srityje ir transformuoja jį į tvarkingą, atskleidžiantį dažnių spektrą.

Nuo Wi-Fi signalo, perduodančio šiuos žodžius į jūsų įrenginį, iki medicininių skenavimų, kurie žvelgia į žmogaus kūną, iki algoritmų, kurie padeda mums suprasti finansų rinkas, Josepho Fourier palikimas yra įtvirtintas mūsų šiuolaikinio technologinio pasaulio audinyje. Išmokę mąstyti dažnio terminais, mes atveriam galingą perspektyvą, leidžiančią mums pamatyti paslėptą tvarką ir struktūrą, slypinčią po duomenų, kurie yra aplink mus, paviršiumi.